Билет №2. 1. Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника. 2. Сформулируйте признаки параллелограмма и докажите один из них (по выбору).

1. Многоугольник называется выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Иначе говоря, любой отрезок, соединяющий две точки такого многоугольника, целиком принадлежит ему.

Углом выпуклого многоугольника называют угол, образованный лучами, содержащими две его стороны с общей вершиной и направленными от этой вершины к соседним вершинам. Каждый такой угол меньше 180°.

2. Признаки параллелограмма: если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны; или одна пара противоположных сторон равна и параллельна; или диагонали точкой пересечения делятся пополам, то четырёхугольник является параллелограммом.

Докажем признак равенства и параллельности одной пары сторон. Пусть в четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны и параллельны. Проведём диагональ AC. Углы BAC и DCA равны как накрест лежащие при AB ∥ CD; AC — общая сторона, AB = CD. Значит, треугольники BAC и DCA равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому углы BCA и DAC равны, откуда BC ∥ AD. Обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.