Билет №11. 1. Дайте определение параллелограмма. Является ли параллелограмм выпуклым многоугольником? 2. Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником.

1. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Да, любой невырожденный параллелограмм является выпуклым многоугольником.

2. Пусть ABCD — параллелограмм и его диагонали равны: AC = BD. Рассмотрим треугольники ABC и BAD. Сторона AB общая, BC = AD как противоположные стороны параллелограмма, AC = BD по условию. Треугольники равны по трём сторонам, поэтому \(\angle ABC=\angle BAD\).

Эти углы соседние в параллелограмме и в сумме дают 180°. Равные углы с такой суммой равны по 90°. Значит, у параллелограмма есть прямой угол; все его углы прямые. Следовательно, ABCD — прямоугольник.