Билет №9. 1. Какой четырёхугольник называется квадратом? Сформулируйте основные свойства квадрата. 2. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

1. Квадрат — четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые. Его основные свойства: противоположные стороны параллельны; все углы равны 90°; диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и делят углы пополам.

2. Пусть ABCD — параллелограмм, проведём диагональ AC. Из AB ∥ CD следует \(\angle BAC=\angle DCA\), а из BC ∥ AD следует \(\angle BCA=\angle DAC\). Сторона AC общая. Значит, треугольники BAC и DCA равны по стороне и двум прилежащим углам.

Из равенства треугольников получаем AB = CD и BC = AD. Кроме того, противоположные углы параллелограмма равны: например, \(\angle ABC=\angle CDA\) как соответствующие углы равных треугольников. Следовательно, в параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.