Блок I. Корень п-ой степени. Иррациональные уравнения. №2. Найдите корень уравнения: 2) \(\sqrt{27-6x} = x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение:

1. Условие неотрицательности корня: \(x \ge 0\)
2. Возведение в квадрат: \((\sqrt{27-6x})^2 = x^2\)
3. Упрощение: \(27 - 6x = x^2 \implies x^2 + 6x - 27 = 0\)
4. Решение квадратного уравнения: Используем дискриминант. \(D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(-27) = 36 + 108 = 144\)
5. Нахождение корней: \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{144}}{2(1)} = \frac{-6 + 12}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
6. \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{144}}{2(1)} = \frac{-6 - 12}{2} = \frac{-18}{2} = -9\)
7. Проверка условия: \(x_1 = 3 \ge 0\) (подходит). \(x_2 = -9 < 0\) (не подходит).
8. Выбор большего корня: Единственный подходящий корень — 3.

Ответ: 3