Блок IV. Тригонометрия. №3. а) Решите уравнение cos 2x + 10 sinx - 9 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-π; π].

Решение:

1. а) Решение уравнения:
   • Используем формулу косинуса двойного угла: \(\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)\).
   • Подставляем в уравнение: \(1 - 2\sin^2(x) + 10\sin(x) - 9 = 0\)
   • Приводим подобные члены: \(-2\sin^2(x) + 10\sin(x) - 8 = 0\)
   • Умножаем на -1/2: \(\sin^2(x) - 5\sin(x) + 4 = 0\)
   • Вводим замену: Пусть \(t = \sin(x)\). Тогда \(t^2 - 5t + 4 = 0\)
   • Решаем квадратное уравнение относительно t: \(t_1 = 1\), \(t_2 = 4\).
   • Возвращаемся к замене: \(\(sin(x) = 1\) или \(sin(x) = 4\)).
   • Анализируем: \(\sin(x) = 4\) не имеет решений, так как \(-1 \le \sin(x) \le 1\).
   • Находим решения для \(sin(x) = 1\): \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
2. б) Корни на отрезке [-π; π]:
   • Подставим значения \(k\) и найдем корни, попадающие в отрезок.
   • Если \(k=0\), то \(x = \frac{\pi}{2}\). Этот корень принадлежит отрезку [-π; π].
   • Если \(k=1\), то \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}\) (не принадлежит).
   • Если \(k=-1\), то \(x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}\) (не принадлежит).

Ответ: а) \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\); б) \(\frac{\pi}{2}\).