Блок II. Степень с рациональным показателем. Показательные уравнения. №1. Найдите значение выражения: 2) \(0,125 \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot 15^{\frac{2}{3}}\)

Решение:

1. Представление десятичной дроби: \(0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}\)
2. Разложение чисел на простые множители: \(8 = 2^3\), \(15 = 3 \cdot 5\)
3. Перепишем выражение: \(\frac{1}{8} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot (3 \cdot 5)^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2^3} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}\).
4. Сложение показателей степени у 5: \(5^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} = 5^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = 5^{\frac{3}{3}} = 5^1 = 5\)
5. Объединение: \(\frac{1}{2^3} \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 5 = \frac{5}{8} \cdot 3^{\frac{2}{3}}\).

Ответ: \(\frac{5}{8} \cdot 3^{\frac{2}{3}}\).