Блок IV. Тригонометрия. №2. Найдите корень уравнения: 1) \(\cos \frac{\pi(2x-7)}{3} = \frac{1}{2}\). В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение:

1. Общее решение уравнения \(\cos(y) = a\): \(y = \pm \arccos(a) + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
2. Применяем к нашему случаю: \(\frac{\pi(2x-7)}{3} = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k\). \(\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}\).
3. Уравнение: \(\frac{\pi(2x-7)}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k\).
4. Делим на \(\pi\): \(\frac{2x-7}{3} = \pm \frac{1}{3} + 2k\).
5. Умножаем на 3: \(2x-7 = \pm 1 + 6k\).
6. Рассматриваем два случая:
   • Случай 1: Плюс \(2x-7 = 1 + 6k \implies 2x = 8 + 6k \implies x = 4 + 3k\).
   • Случай 2: Минус \(2x-7 = -1 + 6k \implies 2x = 6 + 6k \implies x = 3 + 3k\).
7. Находим наибольший отрицательный корень:
   • Для x = 4 + 3k: Если \(k = -1\), то \(x = 4 + 3(-1) = 4 - 3 = 1\). Если \(k = -2\), то \(x = 4 + 3(-2) = 4 - 6 = -2\).
   • Для x = 3 + 3k: Если \(k = -1\), то \(x = 3 + 3(-1) = 3 - 3 = 0\). Если \(k = -2\), то \(x = 3 + 3(-2) = 3 - 6 = -3\).
8. Сравниваем отрицательные корни: -2 и -3. Наибольший из них -2.

Ответ: -2