Блок IV. Тригонометрия. №1. Найдите значение выражения: 1) \(\sin \frac{23\pi}{12} \cdot \cos \frac{23\pi}{12}\)

Решение:

1. Формула синуса двойного угла: \(\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)\). Отсюда \(\sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)\).
2. Применяем формулу: Пусть \(\alpha = \frac{23\pi}{12}\). Тогда \(\sin \frac{23\pi}{12} \cdot \cos \frac{23\pi}{12} = \frac{1}{2} \sin\left(2 \cdot \frac{23\pi}{12}\right) = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{23\pi}{6}\right)\)
3. Находим значение синуса: \(\frac{23\pi}{6} = \frac{24\pi - \pi}{6} = 4\pi - \frac{\pi}{6}\). Поскольку \(4\pi\) — это полный оборот (два полных оборота), то \(\sin\left(4\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\).
4. Значение синуса отрицательного угла: \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\)
5. Итоговый результат: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4}\)

Ответ: -1/4