C—49. 5. Известно, что уравнение x²-px-15=0 имеет корни x₁ и x₂. Выразите через p: a) 1/x₁ + 1/x₂; б) x₁²+x₂²; в) (x₁-x₂)²; г) x₁³/x₂ + x₂³/x₁; д) x₁/x₂ + x₂/x₁; е) x₁³+x₂³

По теореме Виета: x₁ + x₂ = p, x₁x₂ = -15. a) 1/x₁ + 1/x₂ = (x₂ + x₁) / (x₁x₂) = p / -15 = -p/15. б) x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = p² - 2(-15) = p² + 30. в) (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = p² - 4(-15) = p² + 60. г) x₁³/x₂ + x₂³/x₁ = (x₁⁴ + x₂⁴) / (x₁x₂). x₁⁴ + x₂⁴ = (x₁² + x₂²)² - 2(x₁x₂)² = (p² + 30)² - 2(-15)² = p⁴ + 60p² + 900 - 450 = p⁴ + 60p² + 450. x₁³/x₂ + x₂³/x₁ = (p⁴ + 60p² + 450) / -15 = -(p⁴ + 60p² + 450) / 15. д) x₁/x₂ + x₂/x₁ = (x₁² + x₂²) / (x₁x₂) = (p² + 30) / -15 = -(p² + 30) / 15. е) x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)(x₁² - x₁x₂ + x₂²) = (x₁ + x₂)((x₁ + x₂)² - 3x₁x₂) = p(p² - 3(-15)) = p(p² + 45) = p³ + 45p.