C—51. 7. Докажите, что если уравнение ax²+bx+c=0 (a≠0) не имеет корней, то корни уравнения a(x+k)²+b(x+k)+c=0 также являются мнимыми.

Если уравнение ax²+bx+c=0 не имеет корней, то D=b²-4ac<0. Рассмотрим уравнение a(x+k)²+b(x+k)+c=0, раскроем скобки: a(x²+2kx+k²)+bx+bk+c=0, ax²+2akx+ak²+bx+bk+c=0, ax²+(2ak+b)x+ak²+bk+c=0. Дискриминант нового уравнения: D=(2ak+b)²-4a(ak²+bk+c) = 4a²k²+4abk+b²-4a²k²-4abk-4ac = b²-4ac Так как b²-4ac<0, то и дискриминант нового уравнения отрицательный, а значит, новые корни тоже мнимые.