C—49. 7. Известно, что x₁ и x₂ — корни уравнения ax²+bx+c=0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа: a) x₁ + 1 и x₂ + 1; б) x₁ + 1 / x₁ - 1 и x₂ + 1 / x₂ - 1.

По теореме Виета: x₁ + x₂ = -b/a, x₁x₂ = c/a. a) Сумма новых корней: (x₁ + 1) + (x₂ + 1) = x₁ + x₂ + 2 = -b/a + 2 = (2a-b)/a. Произведение новых корней: (x₁ + 1)(x₂ + 1) = x₁x₂ + x₁ + x₂ + 1 = c/a - b/a + 1 = (c - b + a)/a. Новое уравнение: x² - ((2a - b)/a)x + (c - b + a)/a = 0 или ax² - (2a-b)x + c - b + a = 0. б) Здесь нужно сделать замену y = (x + 1) / (x - 1), тогда x = (y+1)/(y-1), и подставить это в исходное уравнение. ax*((y+1)/(y-1))² + bx*((y+1)/(y-1)) + c = 0 => a(y+1)² + b(y+1)(y-1) + c(y-1)² = 0 => a(y²+2y+1) + b(y²-1) + c(y²-2y+1) = 0 => (a+b+c)y² + 2(a-c)y + (a-b+c) = 0. Новое уравнение: (a+b+c)x² + 2(a-c)x + (a-b+c) = 0.