Через точку M, лежащую на стороне BC параллелограмма ABCD, так, что BM : MC = 3 : 1, проведена прямая AM, пересекающая продолжение стороны CD в точке P. Найдите периметр параллелограмма, если MC = CP = 6.

Из \(BM:MC=3:1\) и \(MC=6\) получаем \(BC=BM+MC=18+6=24\).

Пусть \(AB=a\). На стороне BC точка M находится на расстоянии \(\frac34 BC\) от B. В координатах с \(A=(0,0)\), \(B=(a,0)\), \(D=(0,24)\), имеем \(M=(a,18)\). Продолжение AM пересекает прямую CD, проходящую через \((0,24)\) и \((a,24)\), в точке с абсциссой \(4a/3\). Поэтому \(CP=a/3\).

Так как \(CP=6\), то \(AB=a=18\). Периметр: \(2(AB+BC)=2(18+24)=84\).

Ответ: 84.