В параллелограмме ABCD сторона AB = 6, ∠BAD = ∠CBD = 45°. Найдите квадрат диагонали AC.

Пусть \(AD=x\). В треугольнике BCD угол при C равен \(180^\circ-\angle BAD=135^\circ\), а \(\angle CBD=45^\circ\). Следовательно, \(\angle BDC=0^\circ\)? Проверим: углы треугольника не могут складываться так; вместо этого используем векторы.

Пусть \(\overrightarrow{AB}=u\), \(\overrightarrow{AD}=v\), где \(|u|=6\), а угол между ними равен \(45^\circ\). Условие \(\angle CBD=45^\circ\) означает, что угол между \(v\) и \(v-u\) равен \(45^\circ\). Из скалярного произведения следует \(x^2-6\sqrt2x=0\), поэтому \(AD=6\sqrt2\).

Тогда \(AC^2=|u+v|^2=6^2+(6\sqrt2)^2+2\cdot6\cdot6\sqrt2\cdot\cos45^\circ=36+72+72=180\).

Ответ: 180.