На диагонали BD параллелограмма ABCD взята точка O. Прямая AO пересекает отрезок BC в точке M, а прямую CD — в точке P. Найдите квадрат длины отрезка AO, если OM = 6, PM = 2.

Пусть \(O=(1-t)\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AD}\), где \(0<t<1\). Точка M лежит на отрезке BC, поэтому параметр \(t/(1-t)\) не превосходит 1; значит, \(t<1/2\). На прямой AO точки M и P имеют коэффициенты относительно O соответственно \(1/(1-t)\) и \(1/t\). Отсюда выполняется соотношение \((m-1)(p-1)=1\), где m и p — эти коэффициенты.

Обозначим \(AO=L\). Так как OM = 6, то \(m-1=6/L\), а из соотношения следует \(p-1=L/6\). Поскольку P лежит дальше M на прямой, \(PM=(p-m)L=L^2/6-6\). Тогда \(2=L^2/6-6\), откуда \(L^2=48\).

Ответ: 48.