В параллелограмме ABCD AB = 3, AM — биссектриса угла A, где точка M — середина стороны BC. Найдите периметр параллелограмма. Варианты: 1) 10; 2) 8; 3) 9; 4) 18; 5) 20.

Обозначим \(AD=x\). Так как \(AM\) — биссектриса угла между сторонами \(AB\) и \(AD\), её направление пропорционально сумме единичных векторов этих сторон. Поскольку M — середина BC, вектор \(AM\) равен \(\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AD}\).

Сравнивая коэффициенты при направлениях \(AB\) и \(AD\), получаем \(\frac{1}{3}=\frac{1/2}{x}\), откуда \(x=\frac32\)? Wait correction: коэффициенты должны пропорционально обратным lengths: vector bisector direction \(\overrightarrow{AB}/3+\overrightarrow{AD}/x\). Для \(\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AD}\) коэффициенты пропорциональны, поэтому \(1:(1/2)= (1/3):(1/x)\), откуда \(x=2\).

Периметр равен \(2(AB+AD)=2(3+2)=10\).

Ответ: 10, вариант 1.