245 Через точку пересечения биссектрис ВВ, и СС, тре- угольника АВС проведена прямая, параллельная пря мой ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответствен- но в точках М и №. Докажите, что ММ ВМ + CN.

К сожалению, в данном задании допущена опечатка. Утверждение «ММ = ВМ + CN» не имеет смысла, так как «ММ» не является отрезком или величиной. Предполагаю, что в условии имелось в виду «MN = BM + CN». В таком случае, доказательство следующее:

Доказательство:

1. Пусть BB₁ и CC₁ — биссектрисы углов B и C треугольника ABC, O — точка их пересечения. Через точку O проведена прямая MN || BC, M ∈ AB, N ∈ AC.
2. Так как MN || BC, то ∠MOB = ∠OBC (накрест лежащие углы при параллельных прямых MN и BC и секущей BB₁).
3. Так как BO — биссектриса угла B, то ∠OBC = ∠MBO.
4. Следовательно, ∠MOB = ∠MBO, и треугольник MBO — равнобедренный, MO = BM.
5. Аналогично, ∠NOC = ∠OCB (накрест лежащие углы при параллельных прямых MN и BC и секущей CC₁).
6. Так как CO — биссектриса угла C, то ∠OCB = ∠NCO.
7. Следовательно, ∠NOC = ∠NCO, и треугольник NOC — равнобедренный, NO = CN.
8. MN = MO + ON = BM + CN.

Ответ: MN = BM + CN.