247 На рисунке 130 АВ=AC, AP-AQ. Докажите, что: а) треугольник ВОС - равнобедренный; б) прямая ОА проходит через середину основа- ния ВС и перпендикулярна к нему.

а) Докажем, что треугольник BOC - равнобедренный:

1. Так как AB = AC, то треугольник ABC - равнобедренный с основанием BC, следовательно, углы при основании равны: ∠ABC = ∠ACB.
2. Так как AP = AQ, то треугольник APQ - равнобедренный с основанием PQ, следовательно, углы при основании равны: ∠APQ = ∠AQP.
3. ∠PBC = ∠ABC - ∠ABP = ∠ABC - ∠AQP.
4. ∠QCB = ∠ACB - ∠ACQ = ∠ACB - ∠APQ.
5. Так как ∠ABC = ∠ACB и ∠APQ = ∠AQP, то ∠PBC = ∠QCB.
6. Таким образом, в треугольнике BOC углы при основании BC равны, следовательно, треугольник BOC - равнобедренный.

б) Докажем, что прямая OA проходит через середину основания BC и перпендикулярна к нему:

1. Пусть M - точка пересечения OA и BC.
2. Треугольники ABO и ACO равны по трем сторонам (AB = AC, AO - общая сторона, BO = CO, так как BOC - равнобедренный).
3. Следовательно, ∠BAO = ∠CAO, и AO - биссектриса угла BAC.
4. В равнобедренном треугольнике ABC биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.
5. Следовательно, AM - медиана и высота треугольника ABC, то есть M - середина BC и AM ⊥ BC.
6. Таким образом, прямая OA проходит через середину основания BC и перпендикулярна к нему.

Ответ: доказано, что треугольник BOC - равнобедренный и прямая OA проходит через середину основания BC и перпендикулярна к нему.