645 Из концов диаметра АВ данной окружности проведены пер- пендикуляры АА₁ и ВВ₁ к касательной, которая не перпенди-

Не хватает условия задачи, чтобы дать конкретное решение. Предположим, что требуется доказать, что AA₁ + BB₁ = AB, где AB - диаметр окружности, а AA₁ и BB₁ - перпендикуляры к касательной.

Доказательство:

1. Пусть O - центр окружности, а K - точка касания. Проведем радиус OK в точку касания. Тогда OK перпендикулярен касательной.
2. Проведем прямую OO', перпендикулярную AA₁ и BB₁. Тогда OO' || AA₁ || BB₁.
3. Так как O - середина AB, то O' - середина A₁B₁. Следовательно, A₁O' = O'B₁.
4. OO' - средняя линия трапеции AA₁B₁B. Следовательно, OO' = (AA₁ + BB₁) / 2.
5. OK = OO' = r (радиус окружности). Значит, OK = (AA₁ + BB₁) / 2.
6. AB = 2r. Подставляем: OK = AB / 2 = (AA₁ + BB₁) / 2. Следовательно, AB = AA₁ + BB₁.

Ответ: АА₁ + ВВ₁ = АВ, что и требовалось доказать.