641 Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведёнными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.

Дано: AB и AC - отрезки касательных к окружности с центром O, проведенные из точки A. Середина отрезка AO лежит на окружности.

Найти: ∠BAC.

Решение:

1. Пусть M - середина отрезка AO, и точка M лежит на окружности. Следовательно, OM - радиус окружности. Так как AM = MO, то AM = MO = r, где r - радиус окружности. Значит AO = 2r.
2. Так как AB и AC - касательные, то радиусы OB и OC перпендикулярны AB и AC соответственно (∠OBA = 90° и ∠OCA = 90°).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник OBA. В нем OB = r и AO = 2r. Синус угла OAB равен отношению противолежащего катета OB к гипотенузе OA: sin(∠OAB) = OB / OA = r / (2r) = 1/2.
4. Следовательно, ∠OAB = arcsin(1/2) = 30°.
5. Так как ∠OAB = ∠OAC, то ∠BAC = 2 * ∠OAB = 2 * 30° = 60°.

Ответ: 60°.