643 Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точ- ках В и С. Найдите ВС, если ∠OAB=30°, AB = 5 см.

Дано: Прямые AB и AC касаются окружности с центром O в точках B и C, ∠OAB = 30°, AB = 5 см.

Найти: BC.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник OAB, где ∠OBA = 90° (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). ∠OAB = 30°.
2. В прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Следовательно, OB = 1/2 * OA, где OB - радиус окружности.
3. Тангенс угла OAB равен отношению противолежащего катета OB к прилежащему катету AB: tan(∠OAB) = OB / AB. Следовательно, OB = AB * tan(∠OAB) = 5 см * tan(30°) = 5 см * (1/√3) = 5√3 / 3 см.
4. Треугольник OBC равнобедренный, так как OB = OC = r (радиусы окружности).
5. ∠AOB = 90° - ∠OAB = 90° - 30° = 60°. Следовательно, ∠BOC = 2∠AOB = 2 * 60° = 120°.
6. Рассмотрим треугольник OBC. Так как OB = OC и ∠BOC = 120°, то углы OBC и OCB равны (180° - 120°) / 2 = 30°.
7. По теореме синусов для треугольника OBC: BC / sin(∠BOC) = OB / sin(∠OCB). Следовательно, BC = OB * sin(∠BOC) / sin(∠OCB) = (5√3 / 3 см) * sin(120°) / sin(30°) = (5√3 / 3 см) * (√3 / 2) / (1/2) = (5√3 / 3 см) * √3 = 5 см.

Ответ: 5 см.