644 Прямые МА и МВ касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что ∠AMC=3∠BMC.

Дано: MA и MB - касательные к окружности с центром O в точках A и B. Точка C симметрична точке O относительно точки B.

Доказать: ∠AMC = 3∠BMC.

Доказательство:

1. Так как MA и MB касаются окружности, то OA перпендикулярно MA и OB перпендикулярно MB. Следовательно, ∠OAM = 90° и ∠OBM = 90°.


2. Так как C симметрична O относительно B, то B - середина OC. Следовательно, OB = BC.


3. Пусть ∠AMB = α. Тогда ∠AOB = 180° - α.


4. Так как OB = BC, то ∠BOC = 180° - ∠AOB = α.


5. ∠BMC = ∠BOC / 2 = α / 2.


6. ∠AMC = ∠AMB + ∠BMC = α + α / 2 = 3α / 2.


7. ∠AMC = 3 * (α / 2) = 3 * ∠BMC.

Ответ: ∠AMC = 3∠BMC, что и требовалось доказать.