156. Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности: 1) x² + y² − 2x − 4y − 7 = 0; 2) x² + y² − 8y = 0.

Общий вид уравнения окружности:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$, где (a; b) - координаты центра окружности, R - радиус окружности.

1. x² + y² − 2x − 4y − 7 = 0

   Выделим полные квадраты:

   $$(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) - 7 = 0$$ $$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 - 4y + 4) - 4 - 7 = 0$$ $$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1 + 4 + 7$$ $$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 12$$

   Это уравнение окружности с центром в точке (1; 2) и радиусом R = √12 = 2√3.

2. x² + y² − 8y = 0

   Выделим полный квадрат:

   $$x^2 + (y^2 - 8y) = 0$$ $$x^2 + (y^2 - 8y + 16) - 16 = 0$$ $$x^2 + (y - 4)^2 = 16$$

   Это уравнение окружности с центром в точке (0; 4) и радиусом R = √16 = 4.

Ответ: 1) (x - 1)² + (y - 2)² = 12, центр (1; 2), R = 2√3; 2) x² + (y - 4)² = 16, центр (0; 4), R = 4