157. Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением x² − 4x + y² + 6y + 9 = 0. Определите положение точек А (1; −5), В (4; -3) и С (3; -2) относительно этой окружности.

Общий вид уравнения окружности:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$, где (a; b) - координаты центра окружности, R - радиус окружности.

Преобразуем уравнение x² − 4x + y² + 6y + 9 = 0, выделив полные квадраты:

$$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 9 = 0$$ $$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 6y + 9) + 9 - 9 = 0$$ $$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$$

Это уравнение окружности с центром в точке (2; -3) и радиусом R = √4 = 2.

Теперь определим положение точек А (1; −5), В (4; -3) и С (3; -2) относительно окружности.

Для этого подставим координаты каждой точки в уравнение окружности и сравним результат с R² = 4:

Точка A (1; -5):

$$(1 - 2)^2 + (-5 + 3)^2 = (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5 > 4$$

Точка A лежит вне окружности.

Точка B (4; -3):

$$(4 - 2)^2 + (-3 + 3)^2 = (2)^2 + (0)^2 = 4 + 0 = 4 = 4$$

Точка B лежит на окружности.

Точка C (3; -2):

$$(3 - 2)^2 + (-2 + 3)^2 = (1)^2 + (1)^2 = 1 + 1 = 2 < 4$$

Точка C лежит внутри окружности.

Ответ: Центр окружности (2; -3), радиус R = 2. Точка A лежит вне окружности, точка B лежит на окружности, точка C лежит внутри окружности.