697. Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Пусть дан описанный многоугольник. Соединим центр вписанной окружности с каждой вершиной многоугольника. Тогда многоугольник разбивается на n треугольников, где n - число сторон многоугольника. Высота каждого треугольника равна радиусу вписанной окружности, а основание - соответствующей стороне многоугольника. Площадь каждого треугольника равна половине произведения основания на высоту, то есть $$S_i = \frac{1}{2} a_i r$$, где $$a_i$$ - сторона многоугольника, r - радиус вписанной окружности. Площадь всего многоугольника равна сумме площадей этих треугольников: $$S = S_1 + S_2 + ... + S_n = \frac{1}{2} a_1 r + \frac{1}{2} a_2 r + ... + \frac{1}{2} a_n r = \frac{1}{2} r (a_1 + a_2 + ... + a_n) = \frac{1}{2} r P$$, где P - периметр многоугольника. Таким образом, площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности, что и требовалось доказать.