339 1) \(\frac{1}{2} \lg (x^2 + x - 5) = \lg (5x) + \lg \frac{1}{5x}\)

Используем свойство сложения логарифмов: \(\frac{1}{2} \lg (x^2 + x - 5) = \lg (5x \cdot \frac{1}{5x}) = \lg 1 = 0\). Тогда \(\lg (x^2 + x - 5) = 0\). Значит, \(x^2 + x - 5 = 10^0 = 1\), или \(x^2 + x - 6 = 0\). Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25\). Корни: \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2\) и \(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3\). Проверим условия \(x^2 + x - 5 > 0\) и \(5x > 0\). Если \(x = 2\), то \(4 + 2 - 5 = 1 > 0\) и \(10 > 0\), значит, подходит. Если \(x = -3\), то \(9 - 3 - 5 = 1 > 0\), но \(-15 < 0\), значит, не подходит. Значит, \(x = 2\).