2) \(\frac{1}{2} \lg (x^2 - 4x - 1) = \lg (8x) - \lg (4x)\)

Используем свойство вычитания логарифмов: \(\frac{1}{2} \lg (x^2 - 4x - 1) = \lg(\frac{8x}{4x}) = \lg 2\). Тогда \(\lg (x^2 - 4x - 1) = 2 \lg 2 = \lg 4\). Значит, \(x^2 - 4x - 1 = 4\), или \(x^2 - 4x - 5 = 0\). Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36\). Корни: \(x_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5\) и \(x_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1\). Проверим условия \(x^2 - 4x - 1 > 0\), \(8x > 0\), и \(4x > 0\), то есть \(x > 0\). Если \(x = 5\), то \(25 - 20 - 1 = 4 > 0\), значит, подходит. Если \(x = -1\), то \(x > 0\) не выполняется, значит, не подходит. Значит, \(x = 5\).