4) \(\log_8 x + \log_8 (x - 2) = 1\) и \(\log_8 (x(x - 2)) = 1\)

Решим уравнение \(\log_8 x + \log_8 (x - 2) = 1\). Используя свойство логарифмов, запишем левую часть как \(\log_8 (x(x - 2))\). Тогда уравнение принимает вид \(\log_8 (x(x - 2)) = 1\). Это эквивалентно \(x(x - 2) = 8^1\), то есть \(x^2 - 2x = 8\). Перенесем все в одну сторону: \(x^2 - 2x - 8 = 0\). Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36\). Корни: \(x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4\) и \(x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2\). Так как логарифм определен только для положительных чисел, \(x > 0\) и \(x - 2 > 0\), то есть \(x > 2\). Следовательно, подходит только \(x = 4\). Теперь решим уравнение \(\log_8 (x(x - 2)) = 1\). Это уравнение эквивалентно \(x(x - 2) = 8^1\), то есть \(x^2 - 2x = 8\). Как и ранее, получаем квадратное уравнение \(x^2 - 2x - 8 = 0\). Его корни \(x = 4\) и \(x = -2\). Как и ранее, учитывая условие \(x > 2\), выбираем \(x = 4\).