III6. 3. Равносильны ли уравнения? Равносильны ли неравенства? а) x⁴+x²−72=0 и 2x⁴−16x²=0; б) (x−3)²(x−1)(x+8)(x−6)≤0 и (12x−1)(3x+4)<1+(6x+2)².

а) Положим \(t=x^2\). Первое уравнение даёт \(t^2+t-72=(t+9)(t-8)=0\). С учётом \(t\ge0\): \(x=\pm2\sqrt2\). Второе уравнение: \(2x^2(x^2-8)=0\), его корни \(0,\pm2\sqrt2\). Корни различаются, уравнения неравносильны.

б) Знаки множителей первого неравенства дают решение \((-,-8]\cup[1,6]\); множитель \((x-3)^2\) не меняет знак при переходе через 3. Во втором неравенстве раскрываем скобки: \(36x^2+45x-4<1+36x^2+24x+4\), поэтому \(21x<9\), то есть \(x<\frac37\). Множества решений различаются, неравенства неравносильны.