IV6. 3. Равносильны ли уравнения? Равносильны ли неравенства? а) x⁴−2x²−48=0 и x⁴−8x²=0; б) (x+6)(x+1)(x−2)²(x−3)≤0 и (4x−1)²≥(2x+3)(8x−1).

а) Положим \(t=x^2\). Первое уравнение: \(t^2-2t-48=(t-8)(t+6)=0\), поэтому действительные корни \(x=\pm2\sqrt2\). Второе: \(x^2(x^2-8)=0\), его корни \(0,\pm2\sqrt2\). Уравнения неравносильны.

б) Нули произведения: \(-6,-1,2,3\), причём корень 2 кратный и знак там не меняется. Первое неравенство имеет решение \((-,-6]\cup[-1,3]\). Во втором раскрываем скобки: \(16x^2-8x+1\ge16x^2+22x-3\), откуда \(x\le\frac{2}{15}\). Множества решений различаются, неравенства неравносильны.