Контрольная работа № 1, 2 вариант. 2) На стороне \(CD\) квадрата \(ABCD\) лежит точка \(P\) такая, что \(CP=PD\), \(O\) — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{BO},\ \overrightarrow{BP},\ \overrightarrow{PA}\) через векторы \(\vec x=\overrightarrow{BA}\) и \(\vec y=\overrightarrow{BC}\).

Обозначим сторону квадрата за \(s\). Так как \(P\) — середина \(CD\), а диагонали пересекаются пополам, получаем:

1. Вектор к центру квадрата: \(\overrightarrow{BO}=\frac12\overrightarrow{BD}=\frac12(\vec x+\vec y)\).
2. Поскольку \(\overrightarrow{CD}=\vec x\), имеем \(\overrightarrow{CP}=\frac12\vec x\). Поэтому \(\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}=\vec y+\frac12\vec x\).
3. Путь из \(P\) в \(A\): \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PD}+\\overrightarrow{DA}\). Здесь \(\overrightarrow{PD}=\frac12\vec x\), а \(\overrightarrow{DA}=-\vec y\). Следовательно, \(\overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y),\quad \overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y,\quad \overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y\).