Контрольная работа № 3, 2 вариант. 4) В ромбе \(ABCD\) \(AK\) — биссектриса угла \(CAB\), \(\angle BAD=60^\circ\), \(BK=12\) см. Найдите площадь ромба.

Диагональ \(AC\) ромба биссектрисой делит угол \(BAD\) пополам, поэтому \(\angle CAB=30^\circ\). Так как \(AK\) — биссектриса угла \(CAB\), то \(\angle BAK=15^\circ\). Для точки пересечения с противоположной стороной \(BC\) угол \(ABK=120^\circ\), следовательно, \(\angle AKB=45^\circ\).

В треугольнике \(ABK\) по теореме синусов сторона ромба \(s=AB\) равна

\[\frac{s}{\sin45^\circ}=\frac{BK}{\sin15^\circ},\qquad s=12\frac{\sin45^\circ}{\sin15^\circ}=12(\sqrt3+1).\]

Площадь ромба с углом \(60^\circ\):

\[S=s^2\sin60^\circ=144(\sqrt3+1)^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=216+144\sqrt3\text{ см}^2.\]

Ответ: \(216+144\sqrt3\text{ см}^2\).