Контрольная работа № 2, 2 вариант. 3) Треугольник \(CDE\) задан координатами своих вершин: \(C(2;2)\), \(D(6;5)\), \(E(5;-2)\). а) Докажите, что \(\triangle CDE\) — равнобедренный; б) Найдите биссектрису, проведённую из вершины \(C\).

а) Сравним квадраты длин сторон:

\[CD^2=(6-2)^2+(5-2)^2=16+9=25,\qquad CE^2=(5-2)^2+(-2-2)^2=9+16=25.\]

Значит, \(CD=CE=5\), поэтому треугольник равнобедренный с основанием \(DE\).

б) В равнобедренном треугольнике биссектриса из вершины при равных сторонах является медианой основания. Середина \(DE\): \(M\left(\frac{6+5}{2};\frac{5+(-2)}{2}\right)=\left(\frac{11}{2};\frac32\right)\). Биссектриса — прямая через \(C(2;2)\) и \(M\). Её направляющий вектор \(\overrightarrow{CM}=\left(\frac72;-\frac12\right)\), то есть можно взять \((7;-1)\). Уравнение прямой через \(C\): \(y-2=-\frac17(x-2)\), или \(x+7y-16=0\).

Ответ: \(CD=CE=5\); биссектриса из \(C\) имеет уравнение \(x+7y-16=0\).