Контрольная работа № 1, 2 вариант. 4) В треугольнике \(MNK\) точка \(O\) — точка пересечения медиан, \(\overrightarrow{MN}=\vec x\), \(\overrightarrow{MK}=\vec y\), \(\overrightarrow{MO}=k\cdot(\vec x+\vec y)\). Найдите число \(k\).

Медиана из вершины \(M\) проходит к середине стороны \(NK\). Радиус-вектор середины этой стороны относительно \(M\) равен \(\frac12(\vec x+\vec y)\). Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому

\[\overrightarrow{MO}=\frac23\cdot\frac12(\vec x+\vec y)=\frac13(\vec x+\vec y).\]

Сравнивая с данным выражением, получаем \(k=\frac13\).

Ответ: \(k=\frac13\).