Контрольная работа № 2, 2 вариант. 3) Треугольник \(CDE\) задан координатами вершин: \(C(2;2)\), \(D(6;5)\), \(E(5;-2)\). а) Докажите, что \(\triangle CDE\) — равнобедренный; б) Найдите биссектрису, проведённую из вершины \(C\).

а) Вычислим квадраты длин сторон: \(CD^2=(6-2)^2+(5-2)^2=16+9=25\); \(CE^2=(5-2)^2+(-2-2)^2=9+16=25\). Значит, \(CD=CE=5\), поэтому треугольник равнобедренный с вершиной при \(C\).

б) В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине одновременно является медианой к основанию. Середина \(DE\): \(M=(\frac{6+5}{2};\frac{5+(-2)}{2})=(\frac{11}{2};\frac32)\). Биссектриса — прямая через \(C(2;2)\) и \(M\). Её направляющий вектор можно взять \((7;-1)\), поэтому уравнение: \(y-2=-\frac17(x-2)\), или \(x+7y-16=0\).

Ответ: биссектриса из \(C\) имеет уравнение \(x+7y-16=0\) (отрезок этой прямой от \(C\) до \(M\)).