6. lim √x+4-3 x→5 √x-1-2

6. Вычислим предел:

$$\lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x+4} - 3}{\sqrt{x-1} - 2}$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения:

$$\lim_{x \to 5} \frac{(\sqrt{x+4} - 3)(\sqrt{x+4} + 3)(\sqrt{x-1} + 2)}{(\sqrt{x-1} - 2)(\sqrt{x-1} + 2)(\sqrt{x+4} + 3)} = \lim_{x \to 5} \frac{(x+4 - 9)(\sqrt{x-1} + 2)}{(x-1 - 4)(\sqrt{x+4} + 3)} = \lim_{x \to 5} \frac{(x - 5)(\sqrt{x-1} + 2)}{(x - 5)(\sqrt{x+4} + 3)} = \lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x-1} + 2}{\sqrt{x+4} + 3}$$

Подставим значение x = 5:

$$\frac{\sqrt{5-1} + 2}{\sqrt{5+4} + 3} = \frac{\sqrt{4} + 2}{\sqrt{9} + 3} = \frac{2 + 2}{3 + 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Ответ: $$\frac{2}{3}$$