9. lim arctg 2x x→0 tg3x

9. Вычислим предел:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\arctan(2x)}{\tan(3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\arctan(2x)}{2x} \cdot \frac{3x}{\tan(3x)} \cdot \frac{2x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\arctan(2x)}{2x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\tan(3x)} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2x}{3x}$$

Используем известные пределы:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\arctan(x)}{x} = 1$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1$$

Тогда:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\arctan(2x)}{\tan(3x)} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$

Ответ: $$\frac{2}{3}$$