11) $$log_7 \frac{x + 3}{3x - 1} = log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{2}$$

Решим логарифмическое уравнение $$log_7 \frac{x + 3}{3x - 1} = log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{2}$$.

$$log_7 \frac{x + 3}{3x - 1} = log_{7^{-1}} \frac{1}{2}$$

$$log_7 \frac{x + 3}{3x - 1} = - log_7 \frac{1}{2}$$

$$log_7 \frac{x + 3}{3x - 1} = log_7 (\frac{1}{2})^{-1}$$

$$log_7 \frac{x + 3}{3x - 1} = log_7 2$$

Если логарифмы равны, то аргументы также равны:

$$\frac{x + 3}{3x - 1} = 2$$

$$x + 3 = 2(3x - 1)$$

$$x + 3 = 6x - 2$$

$$5x = 5$$

$$x = 1$$

Проверка: $$log_7 \frac{1 + 3}{3 \cdot 1 - 1} = log_7 \frac{4}{2} = log_7 2$$ и $$log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{2} = -log_7 \frac{1}{2} = log_7 (\frac{1}{2})^{-1} = log_7 2$$ - верно.

Ответ: $$x = 1$$