6) $$log_3 x + log_x \frac{1}{9} = 1$$

Решим логарифмическое уравнение $$log_3 x + log_x \frac{1}{9} = 1$$.

$$log_3 x + \frac{log_3 \frac{1}{9}}{log_3 x} = 1$$

$$log_3 x + \frac{log_3 3^{-2}}{log_3 x} = 1$$

$$log_3 x + \frac{-2}{log_3 x} = 1$$

Сделаем замену $$t = log_3 x$$.

$$t - \frac{2}{t} = 1$$

$$t^2 - 2 = t$$

$$t^2 - t - 2 = 0$$

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

$$t_1 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$, $$t_2 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Вернемся к замене:

$$log_3 x = 2$$ или $$log_3 x = -1$$

$$x_1 = 3^2 = 9, x_2 = 3^{-1} = \frac{1}{3}$$

Проверка:

При $$x = 9$$: $$log_3 9 + log_9 \frac{1}{9} = 2 - 1 = 1$$ - верно.

При $$x = \frac{1}{3}$$: $$log_3 \frac{1}{3} + log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9} = -1 + 2 = 1$$ - верно.

Ответ: $$x_1 = 9, x_2 = \frac{1}{3}$$