16. log4(x + 2)(x + 3) + log4= 2

Решим уравнение $$log_4((x + 2)(x + 3)) + log_4(\frac{x-2}{x+3}) = 2$$.

Используем свойство логарифма: $$log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c)$$.

$$log_4((x + 2)(x + 3) * \frac{x-2}{x+3}) = 2$$

$$log_4((x + 2)(x - 2)) = 2$$

$$log_4(x^2 - 4) = 2$$

По определению логарифма, $$x^2 - 4 = 4^2$$

$$x^2 - 4 = 16$$

$$x^2 = 20$$

$$x = \pm \sqrt{20}$$

$$x = \pm 2\sqrt{5}$$

x₁ = 2√5, x₂ = -2√5.

Проверим, что $$x = 2\sqrt{5}$$ является решением:

$$log_4((2\sqrt{5} + 2)(2\sqrt{5} + 3)) + log_4(\frac{2\sqrt{5}-2}{2\sqrt{5}+3}) = 2$$

$$log_4((2\sqrt{5})^2 - 4) = 2$$

$$log_4(20 - 4) = 2$$

$$log_4(16) = 2$$

$$2 = 2$$

Проверим, что $$x = -2\sqrt{5}$$ является решением:

x + 2 = -2√5 + 2 < 0

Не имеет смысла.

Ответ: 2√5