(6) logx-1(12x - x² - 19) = 3.

Решим уравнение: $$\log_{x-1} (12x - x^2 - 19) = 3$$

1. Преобразуем уравнение, используя определение логарифма:$$12x - x^2 - 19 = (x-1)^3$$
2. Раскрываем скобки:$$12x - x^2 - 19 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$$
3. Переносим все члены в одну часть:$$x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0$$
4. Группируем члены:$$x^2(x - 2) - 9(x - 2) = 0$$$$(x^2 - 9)(x - 2) = 0$$$$(x - 3)(x + 3)(x - 2) = 0$$
5. Находим корни уравнения:$$x_1 = 3$$$$x_2 = -3$$$$x_3 = 2$$
6. Проверяем корни на соответствие области определения логарифма:
   • $$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$$
   • $$x - 1
     eq 1 \Rightarrow x
     eq 2$$
   • $$12x - x^2 - 19 > 0$$
7. Таким образом, корень $$x = 2$$ не подходит, так как основание логарифма не может быть равно 1.
8. Проверим $$x=3$$
   • $$12\cdot3 - 3^2 - 19 = 36 - 9 - 19 = 8 > 0$$
9. Проверим $$x=-3$$
   • $$12\cdot(-3) - (-3)^2 - 19 = -36 - 9 - 19 = -64 < 0$$. Корень не подходит.

Ответ: 3