236 Медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

Доказательство:

Пусть AM - медиана треугольника ABC, AM = BC/2, следовательно, AM = BM = MC (т.к. медиана делит сторону пополам).

Тогда треугольники ABM и AMC - равнобедренные.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

∠BAM = ∠ABM = α; ∠MAC = ∠MCA = β

∠BAC = α + β

∠ABC + ∠BCA + ∠BAC = 180°

α + β + α + β = 180°

2α + 2β = 180°

2(α + β) = 180°

α + β = 90°

∠BAC = 90°

Следовательно, треугольник ABC - прямоугольный.

Ответ: доказано.