12.3. На рисунке 12.10 изображён равносторонний треугольник АВС, точка D – середина стороны ВС. Прямая АМ перпендикулярна плоскости АВС. Докажите, что MD ⊥ BC.

Для доказательства перпендикулярности $$MD$$ и $$BC$$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

1. Т.к. $$D$$ - середина $$BC$$, то $$AD$$ - медиана равностороннего треугольника, а значит, и высота. Следовательно, $$AD \perp BC$$.
2. $$AM \perp (ABC)$$, значит, $$AM \perp BC$$.
3. Т.к. $$AM \perp (ABC)$$, то $$AM \perp BC$$ (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).
4. Рассмотрим прямую $$BC$$. Она перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$AD$$ и $$AM$$. Значит, $$BC \perp (AMD)$$.
5. Т.к. $$BC \perp (AMD)$$, то $$BC \perp MD$$ (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что MD ⊥ BC.