12.10. Отрезок DA – перпендикуляр к плоскости треугольника АВС, АВ = 10 см, АС = 17 см, ВС = 21 см. Найдите расстояние от точки D до прямой ВС, если расстояние от точки D до плоскости АВС равно 15 см.

Обозначим расстояние от точки $$D$$ до плоскости $$ABC$$ как $$DA = 15$$ см. Пусть $$DH$$ - перпендикуляр, опущенный из точки $$D$$ на прямую $$BC$$. Т.к. $$DA \perp (ABC)$$, то $$AH$$ - проекция наклонной $$DH$$ на плоскость $$(ABC)$$. Следовательно, $$AH \perp BC$$ (по теореме о трех перпендикулярах). Тогда $$DH$$ - искомое расстояние от точки $$D$$ до прямой $$BC$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Т.к. известны все стороны, то можно найти площадь по формуле Герона:

Полупериметр $$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{10 + 17 + 21}{2} = 24$$ см.

Площадь $$S_{ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - AC)(p - BC)} = \sqrt{24(24 - 10)(24 - 17)(24 - 21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 3} = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 = 84$$ см².

С другой стороны, площадь можно вычислить, зная основание и высоту: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC$$. Отсюда можно найти $$AH$$:

$$AH = \frac{2S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 84}{21} = 8$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADH$$ (т.к. $$DA \perp (ABC)$$, то угол $$DAH$$ - прямой). По теореме Пифагора:

$$DH = \sqrt{DA^2 + AH^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$ см.

Ответ: Расстояние от точки D до прямой ВС равно 17 см.