12.4. Прямая АО перпендикулярна плоскости окружности с центром О (рис. 12.11). Прямая а принадлежит плоскости окружности и касается данной окружности в точке В. Докажите, что АВ ⊥ a.

Для решения задачи используем свойства перпендикулярности прямой и плоскости, а также касательной к окружности.

1. Т.к. $$AO \perp (окружности)$$, то $$AO \perp a$$ (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).
2. Т.к. $$a$$ - касательная к окружности в точке $$B$$, то $$OB \perp a$$ (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).
3. Прямая $$a$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$AO$$ и $$OB$$. Значит, $$a \perp (AOB)$$.
4. Т.к. $$a \perp (AOB)$$, то $$a \perp AB$$ (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что АВ ⊥ a.