12.14. Точка М равноудалена от всех прямых, содержащих стороны правильного треугольника АВС. Проекцией точки М на плоскость АВС является точка О, принадлежащая треугольнику. Найдите

Т.к. точка $$M$$ равноудалена от всех прямых, содержащих стороны треугольника $$ABC$$, то точка $$O$$ - центр вписанной окружности (т.к. проекция точки $$M$$ является центром вписанной окружности).

Необходимо найти радиус вписанной окружности.

Формула радиуса вписанной окружности: $$r = \frac{S}{p}$$, где $$S$$ - площадь треугольника, $$p$$ - полупериметр треугольника.

Площадь правильного треугольника: $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$.

Полупериметр правильного треугольника: $$p = \frac{3a}{2}$$.

Тогда $$r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{3a}{2}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{3a} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$.

Ответ: Радиус вписанной окружности равен $$\frac{a\sqrt{3}}{6}$$, где а - сторона правильного треугольника АВС.