12.11. Отрезок АВ – диаметр окружности с центром О, отрезок ВС – её хорда, ∠АВС = 30°. Отрезок АЕ – перпендикуляр к плоскости данной окружности. Найдите расстояние от точки Е до плоскости окружности, если расстояние от точки Е до прямой ВС равно 10 см.

Пусть $$AB$$ - диаметр окружности, $$BC$$ - хорда, $$\angle ABC = 30^\circ$$. $$AE \perp (ABC)$$. $$EH \perp BC$$, где $$H$$ принадлежит прямой $$BC$$. Необходимо найти $$AE$$, если $$EH = 10$$ см.

1. $$\angle BAC = 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$ (т.к. угол $$ABC$$ опирается на диаметр).
2. $$AE \perp (ABC)$$ и $$EH \perp BC$$, следовательно, $$AH \perp BC$$ (по теореме о трех перпендикулярах).
3. Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Т.к. $$AH \perp BC$$, то $$AH$$ - высота, проведенная к стороне $$BC$$. Тогда $$AH = AB \cdot sin(\angle ABC) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$$ см.
4. Рассмотрим треугольник $$AEH$$ (т.к. $$AE \perp (ABC)$$, то угол $$EAH$$ - прямой). Тогда $$AE = \sqrt{EH^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$ см.

Ответ: Расстояние от точки Е до плоскости окружности равно 8 см.