12.13. Отрезок DA – перпендикуляр к плоскости треугольника АВС, ∠АВС = 120°, АВ = 14 см. Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС, если эта точка удалена от прямой ВС на 2√43 см.

Пусть $$DA \perp (ABC)$$, $$\angle ABC = 120^\circ$$, $$AB = 14$$ см. $$DH = 2\sqrt{43}$$ см, где $$DH \perp BC$$. Необходимо найти $$DA$$.

1. Т.к. $$DA \perp (ABC)$$ и $$DH \perp BC$$, то $$AH \perp BC$$ (по теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, $$AH$$ - высота, проведенная к стороне $$BC$$.
2. Рассмотрим треугольник $$ABH$$. В нем $$sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$$. Т.к. $$\angle ABH = 120^\circ$$ и $$AB = 14$$ см, то $$AH = AB \cdot sin(\angle ABH) = 14 \cdot sin(120^\circ) = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$$ см.
3. Рассмотрим треугольник $$ADH$$. Он прямоугольный (т.к. $$DA \perp (ABC)$$). Тогда $$DA = \sqrt{DH^2 - AH^2} = \sqrt{(2\sqrt{43})^2 - (7\sqrt{3})^2} = \sqrt{172 - 147} = \sqrt{25} = 5$$ см.

Ответ: Расстояние от точки D до плоскости АВС равно 5 см.