5. На рисунке CEK, CD-6. ВС 12, угол ВAC равен углу EDC. Найдите АС.

Привет! Давай приступим к решению. Заметим, что \( \angle BAC = \angle EDC \). Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle DEC \). У них есть общий угол \( C \), и \( \angle BAC = \angle EDC \). Следовательно, \( \triangle ABC \sim \triangle DEC \) по двум углам.

Теперь запишем отношение сторон из подобия треугольников:

\[ \frac{AC}{DC} = \frac{BC}{EC} \]

Обозначим \( AC = x \). Тогда \( EC = CE = x - 8 \). Подставим известные значения:

\[ \frac{x}{6} = \frac{12}{x-8} \]

Решим уравнение:

\[ x(x-8) = 6 \cdot 12 \] \[ x^2 - 8x = 72 \] \[ x^2 - 8x - 72 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = (-8)^2 - 4(1)(-72) = 64 + 288 = 352 \] \[ x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{352}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{352}}{2} \]

Так как \( \sqrt{352} = \sqrt{16 \cdot 22} = 4\sqrt{22} \), получим:

\[ x_{1,2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{22}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{22} \]

Поскольку длина не может быть отрицательной, выберем положительное значение:

\[ x = 4 + 2\sqrt{22} \approx 4 + 2 \cdot 4.69 = 4 + 9.38 = 13.38 \]

Однако, у нас ошибка в условии. Должно быть \( CE = 8 \). Тогда \( EC = 8 \). Подставим известные значения:

\[ \frac{AC}{CD} = \frac{BC}{CE} \] \[ \frac{x}{6} = \frac{12}{8} \] \[ x = \frac{12 \cdot 6}{8} = \frac{72}{8} = 9 \]

Ответ: 9

Вот и все! Главное - внимательно следить за условиями. У тебя все отлично получается!