157. Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением х² - 4x + y² + 6y + 9 = 0. Определите положение точек А (1; −5), В (4; -3) и С (3; -2) относительно этой окружности.

Общий вид уравнения окружности:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$, где $$(a, b)$$ - координаты центра окружности, $$R$$ - радиус.

Преобразуем уравнение, выделив полные квадраты:

$$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 9 = 0$$ $$(x^2 - 4x + 4 - 4) + (y^2 + 6y + 9 - 9) + 9 = 0$$ $$(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 + 9 = 0$$ $$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$$

Получили уравнение окружности с центром в точке $$(2; -3)$$ и радиусом $$R = \sqrt{4} = 2$$.

Определим положение точек относительно окружности. Для этого подставим координаты точек в уравнение окружности и сравним с $$R^2$$:

Точка $$A (1; -5)$$:

$$(1 - 2)^2 + (-5 + 3)^2 = (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5 > 4$$

Точка $$A$$ лежит вне окружности.

Точка $$B (4; -3)$$:

$$(4 - 2)^2 + (-3 + 3)^2 = (2)^2 + (0)^2 = 4 = 4$$

Точка $$B$$ лежит на окружности.

Точка $$C (3; -2)$$:

$$(3 - 2)^2 + (-2 + 3)^2 = (1)^2 + (1)^2 = 1 + 1 = 2 < 4$$

Точка $$C$$ лежит внутри окружности.

Ответ: Центр $$(2; -3)$$, радиус $$2$$. Точка $$A$$ - вне окружности, точка $$B$$ - на окружности, точка $$C$$ - внутри окружности.