152. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ, если А (3; −6), B (−1; 4).

Общий вид уравнения окружности:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$, где $$(a, b)$$ - координаты центра окружности, $$R$$ - радиус.

Центр окружности является серединой отрезка $$AB$$. Найдем координаты центра $$O (a; b)$$:

$$a = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$b = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Центр окружности в точке $$O (1; -1)$$, значит $$a = 1, b = -1$$

$$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = R^2$$

Радиус окружности равен половине длины отрезка $$AB$$. Найдем длину отрезка $$AB$$:

$$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (4 - (-6))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (10)^2} = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116}$$

Тогда радиус равен:

$$R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{116}}{2}$$

Подставим найденный радиус в уравнение окружности:

$$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = (\frac{\sqrt{116}}{2})^2$$ $$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = \frac{116}{4}$$ $$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 29$$

Ответ: $$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 29$$